Kristina Killgrove的文章《巴比伦泥板保存了学生4000年前的几何学错误》于12月2日发表在LiveScience上 。Killgrove讲述了牛津阿什莫林博物馆保存的一块小泥板。这块泥板于1931年在基什（Kish，今伊拉克）出土，可追溯到古巴比伦时期（公元前1900年至公元前1600年）。Killgrove告诉我们，这是“那次挖掘中发现的二十多个古代巴比伦数学作业之一”。
解读这块泥板上的铭文可以让我们了解古巴比伦的计数系统；特别是，学生的错误揭示了该系统的一个主要缺陷。
当时基什的数学爱好者使用了一种以60为基数的位值系统（类似于我们的十进制，但“数字”从1到59）。数字本身是用楔形文字书写的，采用了一种本质上是十进制的表示法。
在这位学生的书写中，垂直的锥形符号表示1，对角线；因此，在泥板的左侧，我们读到1 52 30。这对应于1×60²+52×60+30，即我们十进制表示法中的6750，表示三角形的底边长度。
同样，在三角形上方，学生写下了3 45，即3×60+45或十进制的225；传统上，这个数字表示三角形的高度。三角形内的数字应与其面积对应，即底边长乘以高度的一半，十进制中为6750×225/2=759375，相当于3×216000+30×3600+56×60+15；因此，以60为基数，面积为3 30 56 15。
但学生在三角形内写下的第二个“数字”是8。下一个数字大部分被遮挡，最后一个数字以5结尾。这显然是不正确的（而污迹可能是老师打的红色叉号）。在这个简单的计算中，可能出了什么问题？
Eleanor Robson是一位研究古巴比伦数学的英国专家，她于2004年在SCIAMVS期刊上发表了这块泥板的研究 ；文章中她通过逆向工程分析了学生的答案，找出了错误的来源。她的猜测是：古巴比伦人缺乏表示零的符号。当零出现在多位数字中时，巴比伦人只是留空。
这显然是一个非常容易犯的错误：如果两个连续“数字”之间的空格稍大些，它可能会被读作零。古巴比伦人能使用这种潜在风险的符号系统长达多个世纪（直到公元前300年左右）的原因之一可能是他们的基数较大。在我们当今的数字中，平均每10个数字中有一个是零，而在以60为基数的系统中，这一概率仅为60分之一。
12月4日发表在《英国皇家学会界面杂志》Journal of the Royal Society Interface 上的一篇文章使用纽结理论的符号和概念对翻花绳图案进行分类，并研究其地理分布 。
翻花绳（string figures，翻线戏，翻绳儿，挑绷子）是一种游戏，涉及用双手的十根手指编织一个长绳圈。根据作者的说法，它们是“全球文化传统中最常见的娱乐形式之一”。“Cat’s Cradle”（字面意思，猫的摇篮）是英语国家中的一种变体。最广泛的翻花绳图案之一是“雅各布的梯子”。
雅各布的梯子翻花绳图案出现在六大洲的土著文化中。关于其构造，请参见此视频 。图片来自《皇家学会界面杂志》补充表 1，CC BY 4.0许可使用。
翻花绳的复杂性和特异性使其像语言一样，成为一种代代相传的文化标志。它们长期以来一直吸引着人类学家的注意——文章中包括阿尔弗雷德·拉塞尔·华莱士（Alfred Russel Wallace）的描述，他在1860年左右在马来群岛的一个雨天向一些年轻的达雅克部落成员展示了“翻花绳”。
（“令我惊讶的是，他们对此了如指掌，甚至比我懂得更多。”）但要系统地比较来自遥远文化的例子，科学家需要一种可靠的方法来编码翻花绳图案。直到现在，还没有这样的编码。
这篇新文章提出了一种解决方案：“高斯码”，它可以从图案的二维图形中计算出来。高斯码用于数学中的纽结研究，但它同样适用于研究复杂的无结环，如翻花绳图案；它最早出现在卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的遗稿中，可追溯到1840年左右。
一个平面投影的环（无论是否打结）的高斯码记录如下：选择一个起点和沿环的旅行方向。从起点开始沿该方向追踪环，并在第一次遇到每个交叉点时编号。完成后，你就可以写下高斯码了。为此继续进行下去，完成一次完整的遍历。
这将涉及每个交叉点两次：一次是在下方穿过，另一次是在上方穿过。当你沿着环移动时，记录遇到的数字，但如果在该交叉点下方穿过，则加上负号。
对于一个有n个交叉点的图案，你将得到一个包含2n个整数的字符串，每个整数在字符串中出现两次，一次带负号，一次不带负号。这就是高斯码。请注意，你记录的代码取决于你选择的起点和方向。对于一个有n个交叉点的图案，最多可以有2n个不同的代码——2种可能的方向乘以n种起点选择。
示例图案，从左到右：a. 有三个交叉点的三叶结，右上交叉点为上交叉。b. 右上交叉点为下交叉的三叶结。c. 有四个交叉点的八字结。
在所示的起点和方向选择下，两个三叶结的高斯码相同：1 -2 3 -1 2 -3。
（一般来说，镜像图案具有相同的高斯码。这对于研究翻花绳图案来说不是问题，因为同一个翻花绳图案可以被编织者看到，也可以被观众举起检查。）
《界面》文章的作者检查了来自92个不同文化群体的826个翻花绳图案，并使用高斯码进行比较。但一个翻花绳图案可以有多个高斯码的事实带来了一个问题。如果两个图案相同但分配了不同的代码，它们的相似性将被忽略。
为了解决这个问题，作者为一个有n个交叉点的翻花绳图案分配了所有2n个可能的代码。这个包含2n个代码的整数字符串被称为图案的“高斯码序列”。
有了一个明确表示每个翻花绳图案的数值标记，作者可以机械地扫描整个语料库，寻找完全或部分匹配。他们发现了83类重复设计；826个图案中有380个属于这些类别之一，其中7个类别包含10个或更多个体图案。
作者评论道：“一些翻花绳设计的广泛分布不仅反映了这种实践的深厚渊源，还反映了特定设计的深厚渊源。”
作者特别关注了雅各布的梯子，它出现在六大洲的26个不同文化群体中。他们做出了以下观察：
雅各布的梯子非常复杂，比一般的翻花绳图案复杂得多；其构造以“一个不寻常的扩展动作……新手通常觉得不直观且难以执行”结束。
大多数雅各布的梯子都是用完全相同的步骤序列制作的。这与一般的翻花绳图案不同。特别是，在所有检查的样本中，第一个动作对是用右手先执行的。此外，在除一个样本外的所有样本中，该动作是用中指完成的，而食指同样可以完成。
如果该设计在多个地点独立演化，人们会期望出现各种形式——“伪雅各布的梯子”，它们看起来几乎相同。语料库中包含了一些伪雅各布的梯子，但比独立演化预期的要少得多。
他们得出结论：“雅各布的梯子在文化中的普遍性、复杂性和一致性表明了一个共享且可能非常古老的渊源”，并建议它和其他翻花绳图案“可能深深编织在人类进化的结构中”。
的研究，其中x是任意实数或复数。黎曼用ζ(x)表示这个和，定义了“黎曼zeta函数”。这个函数在数学的核心中占据了特殊的位置。
它的复根是黎曼假设的主题，可能是我们这个时代最著名的未解决数学问题。数值证据压倒性地表明该假设是正确的，但没有人能够证明它。其证明将产生深远的影响，特别是在数论中，因为该假设与素数的分布密切相关。
在黎曼的符号中，欧拉的恒等式是ζ(2)=π²/6 。欧拉还给出了ζ(4)、ζ(6)、ζ(8) 等类似但更复杂的公式——即ζ(x)在偶数x处的值。这些值总是（有理数）×（π的幂）的形式。由于π是已知的超越数，这些都是无理数。
这就剩下了关于ζ(x)在奇数x处的值的问题。自奥雷斯姆（Oresme，约1320 - 1382）以来，人们就知道调和级数1+1/2+1/3+⋯的和，即ζ(1)，没有有限的极限，但ζ(3)呢？该级数是收敛的；
除此之外一无所知，直到1978 年，罗杰·阿佩里（Roger Apéry，1916-1994）宣布他证明了ζ(3)实际上是无理数。Manon Bischoff在《Spektrum der Wissenschaften》上发表的一篇文章（由《科学美国人》于2024年12月19日翻译并发表 ）回顾了阿佩里分享他成就的会议。其副标题称那次场合是“数学史上最奇怪的事件之一”。
Bischoff将阿佩里描述为“一位当时相对不知名且年过六旬的法国数学家”。事实上，阿佩里在非常辉煌的起步之后（他是巴黎高等师范学院的毕业生，曾在法国国家数学Agrégation考试中并列第一名），当时他61岁，在一所省级大学研究意大利风格的代数几何问题，这是一个当时相当不流行的领域。（参见MacTutor了解完整的传记。）
他的演讲对他讨论的情况并没有太多帮助。根据Bischoff的描述，第一个项目是“以前未知的”级数表示ζ(3)。当阿佩里被问及此事时，据说他声称这样的公式“在我的花园里生长”。
那次讲座由荷兰-澳大利亚数论学家阿尔弗雷德·范德波尔滕（Alfred van der Poorten，1942 - 2010）参加，他为《数学情报员》Mathematical Intelligencer 写了一篇详细的“非正式” ：“尽管之前有报道称他声称有一个证明，但遭受普遍怀疑。
这次讲座倾向于加强这种观点，甚至到了完全不相信的地步。”但范德波尔滕接着称，同样在场的亨利·科恩（Henri Cohen，现为波尔多荣誉退休教授）理解了要点，并在当晚晚些时候说服他“阿佩里教授确实找到了一个非常神奇且壮观的ζ(3)的无理性证明。”（他还告诉我们，阿佩里的不太可能的级数表达式实际上“相当知名”，并已出现在印刷品中。）
除了对zeta函数历史的简要介绍外，Bischoff还提到了它在量子物理学中非常有趣的幽灵般的显现，其中这个常数扮演了一个特殊角色。更多细节请参见Walter Dittrich（蒂宾根Tübingen）在2019年Universe中的结尾部分 ，他写道，数字ζ(3)“对于在QED（量子电动力学）中进行计算的人们来说具有巨大的价值，例如电子（和μ子）反常磁矩的二阶和三阶（在α中）辐射修正，这是物理学中测量和计算最精确的数字之一。”
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